Description
Given a positive integer \(n\), you have to find the number of ways you can express \(n\) as sum of consecutive integers. You have to use at least two integers. For example, \(n = 15\) has three solutions, \( (1+2+3+4+5), (4+5+6), (7+8)\).
একটা ধনাত্মক সংখ্যা \(n\) দেয়া আছে, তোমাকে বের করতে হবে \(n\) কে কত উপায়ে একাধিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়। যেমন, \(n = 15\) কে তিন উপায়ে লেখা যায়, \( (1+2+3+4+5), (4+5+6), (7+8)\).
আমার সমাধান
ধরে নেই \(a,b\in \mathbb{N},a \neq b\) \[ \begin{eqnarray*} &&a + (a+1) + (a+2) + \cdots + b = n\\ &\Rightarrow& \sum_{k = a}^{b} k = n\\ &\Rightarrow& \sum_{k = 1}^{b} k - \sum_{k = 1}^{a-1} k = n\\ &\Rightarrow& \frac{b(b+1)}{2} - \frac{(a-1)(a-1+1)}{2} = n\\ &\Rightarrow& b^2 + b - (a^2-a) = 2n\\ &\Rightarrow& b^2 - a^2 + (b+a) = 2n\\ &\Rightarrow& (b+a)(b-a)+ (b+a) = 2n\\ &\therefore& (b+a)(b-a+1) = 2n \end{eqnarray*} \]
এটা স্পষ্ট যে, \(a\) ও \(b\) এর যত গুলো স্বাভাবিক সংখ্যার মান সম্ভব, ঠিক তত ভাবেই \(n\) কে ক্রমিক সংখার যোগফল আকারে লেখা যায়। যেহেতু, \(a,b \in \mathbb{N}\) এবং \((b+a)(b-a+1) = 2n\) কাজেই \((b+a)\) এবং \((b-a+1)\) কে অবস্যই \(2n\) এর উৎপাদক হতে হবে। ধরে নেই, \(p\) ও \(q, 2n\) এর যেকোন উৎপাদক এবং \(p \ge q\); অর্থাৎ, \(pq = 2n\).
তাহলে \(b + a = p, b - a + 1 = q\) অথবা \(b + a = q, b - a + 1 = p\) হতে হবে। কিন্তু, যেহেতু \(p \ge q\), তাই \(b + a = q, b - a + 1 = p\) হওয়া সম্ভব না। কারণ, তাহলে \(a, b\) ধনাত্মক হবেনা। কাজেই, ধনাত্মক সংখ্যার জন্য, \(b + a = p, b - a + 1 = q\). তাহলে, \[ b = \frac{p+q-1}{2} \] \[ a = \frac{p-q+1}{2} \]
এখন \(p\) ও \(q, 2n\) এর উৎপাদক বলে \(p, q\) এর অন্তত একটি জোড় হতে হবে। কিন্তু যদি \(p, q\) দুটি সংখ্যাই জোড় হয় তবে \(b = \frac{p+q-1}{2}\) ও \(a = \frac{p-q+1}{2}\) পূর্ণ সংখ্যা হতে পারবে না। অর্থাৎ, \(p, q\) এর মধ্যে একটি বিজোড় হবে এবং অপরটি জোড় হবে। কাজেই \(2n\) এর উৎপাদকের মধ্যে যতগুলো বিজোড় সংখ্যা আছে \(a, b\) এর ঠিক তত গুলোই মান থাকবে। তবে প্রশ্নে একাধিক সংখ্যা চাওয়া হয়েছে। \(p = 2n, q = 1\) হলে \(a = b = n\) যেটা \(a \ne b\) এর সাথে অসঙ্গতিপূর্ণ।
সুতরাং, \(p = 2n, q = 1\) এই উৎপাদক জোড়া ব্যতিত আর \(2n\) যেকয়টি জোড়-বিজোড় উৎপাদক আছে \(a, b\) এর ঠিক তত গুলি মান সম্ভব। কাজেই, \(n\) কে ঠিক তত উপায়ে ধনাত্মক ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায় তা হল,
কিন্তু \(2n\) এর বিজোড় উৎপাদক সংখ্যা এবং \(n\) এর বিজোড় উৎপাদক সংখ্যা একই হবে। কাজেই \(n\) কে যত উপায়ে একাধিক ক্রমিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায় তা হল,
উৎপাদকের সংখ্যা সম্পর্কে যদি না জেনে থাকেন তবে নিচের লিংক গুলোতে ঘুরে শুরু করে দিয়ে পারেনঃ
Comments
Post a Comment